Question

14．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+6，x≥0}\\{x+4，x＜0}\end{array}\right.$，若存在互不相等的实数x₁，x₂，x₃满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁+x₂+x₃的取值范围（-1，6）．

Answer 1

分析 由题意，当x＜0时，f（x）=x+4＜4，当x≥0时，f（x）=x²-6x+6≥-3，且x∈[0，3]时，f（x）∈[-3，6]，x∈[3，+∞）时，f（x）∈[-3，+∞），从而不妨设x₁＜0，x₂，x₃＞0，可得x₂+x₃=6，-3＜x₁+4＜4，从而解得．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x+4＜4，
当x≥0时，f（x）=x²-6x+6≥-3，
且x∈[0，3]时，f（x）∈[-3，6]，
x∈[3，+∞）时，f（x）∈[-3，+∞），
∵存在互不相等的实数x₁，x₂，x₃满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
∴不妨设x₁＜0，x₂，x₃＞0；
则x₂+x₃=6，-3＜x₁+4＜4，
解得，-7＜x₁＜0，
故x₁+x₂+x₃的取值范围为（-1，6）；
故答案为：（-1，6）．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数与一次函数的性质应用，属于基础题．