Question

2．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，1]
• B． [$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{4}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
z=$\frac{y}{x+1}$的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（-1，0）的斜率，
由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$），即BD的斜率k=$\frac{\frac{5}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），即CD的斜率k=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即$\frac{1}{5}$≤z≤$\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．