Question

17．已知a，b，c是方程x³+Ax²+Bx-1=0的3个解，求值：$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$．

Answer 1

分析 由a，b，c是方程x³+Ax²+Bx-1=0的3个解可知abc=1，再化简$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$=$\frac{a}{ab+a+1}$+$\frac{ab}{abc+ab+a}$+$\frac{abc}{{a}^{2}bc+abc+ab}$，从而化简求得．

解答 解：∵a，b，c是方程x³+Ax²+Bx-1=0的3个解，
∴abc=1，
∴$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$
=$\frac{a}{ab+a+1}$+$\frac{ab}{abc+ab+a}$+$\frac{abc}{{a}^{2}bc+abc+ab}$
=$\frac{a}{ab+a+1}$+$\frac{ab}{ab+a+1}$+$\frac{1}{ab+a+1}$
=$\frac{ab+a+1}{ab+a+1}$
=1．

点评 本题考查了三次方程根与系数的关系及化简的应用，属于中档题．