Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，$B=\frac{2π}{3}$，△ABC的面积是$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的面积求出a，利用余弦定理，即可求b的值；
（Ⅱ）直接利用正弦定理求sinA的值．

解答 （本小题13分）
解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，c=5，$B=\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．即$\frac{1}{2}a•5•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．
所以a=3．…（5分）
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得${b^2}=25+9-2×5×3×cos\frac{2π}{3}=49$．
所以b=7．…（9分）
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$．
所以$sinA=\frac{3}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．…（13分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．