Question

18．已知关于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．
（1）若a=-3，求不等式的解集；
（2）若a∈R，求不等式的解集；
（3）若不等式解集中恰有4个整数解，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）a=-3时，不等式化为-3x²+2x+1＜0，求出解集即可；
（2）考虑不等式的类型，讨论a=0时是一次不等式，a≠0时是二次不等式，
应利用图象法解此不等式，考虑开口方向和△的符号，以确定抛物线和x轴的位置关系，
求出实根，比较根的大小，写出不等式的解集；
（3）由（2）得出满足条件的不等式的解集是0＜a＜1时的解集，列出关于a的不等式组，求出解集即可．

解答 解：（1）当a=-3时，不等式可化为-3x²+2x+1＜0，
即3x²-2x-1＞0，
解得x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1；
∴不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1}；
（2）①当a=0时，不等式化为-x+1＜0，解得x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＞1}；
当a≠0时，不等式可变为（ax-1）（x-1）＜0，
且方程（ax-1）（x-1）=0的两根为$\frac{1}{a}$和1，作差为$\frac{1}{a}$-1=$\frac{1-a}{a}$；
∴②当a＜0时，抛物线开口向下，且$\frac{1}{a}$＜1，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}；
③当0＜a＜1时，抛物线开口向上，且$\frac{1}{a}$＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
④当a=1时，不等式化为（x-1）²＜0，解集为∅；
⑤当a＞1时，抛物线开口向上，且$\frac{1}{a}$＜1，不等式解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}，
综上，①a=0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
②a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}；
③0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
④a=1时，不等式的解集为∅；
⑤a＞1时，不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
（3）根据（2）得，满足条件的不等式的解集应为
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}，
令5＜$\frac{1}{a}$≤6，解得$\frac{1}{6}$≤a＜$\frac{1}{5}$；
∴a的取值范围是{a|$\frac{1}{6}$≤a＜$\frac{1}{5}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．