Question

13．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 a＞0，b＞1且2a+b=4，由b=4-2a＞0，解得0＜a＜2．则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$=$\frac{1}{a}+\frac{2}{3-2a}$=f（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞1且2a+b=4，
∴b=4-2a＞1，解得0＜a＜$\frac{3}{2}$．
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$=$\frac{1}{a}+\frac{2}{4-2a-1}$=$\frac{1}{a}+\frac{2}{3-2a}$=f（a），
∴f′（a）=$-\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{（2a-3）^{2}}$=$\frac{3（4a-3）}{{a}^{2}（2a-3）^{2}}$，
当$0＜a＜\frac{3}{4}$时，f′（a）＜0，此时函数单调递减；当$\frac{3}{2}$＞$a＞\frac{3}{4}$时，f′（a）＞0，此时函数单调递增．
∴当a=$\frac{3}{4}$时，f（a）取得极小值即最小值，$f（\frac{3}{4}）$=$\frac{8}{3}$．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b-1}$的最小值为$\frac{8}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．