Question

3．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中点O，OE⊥AA₁于E点．
（Ⅰ）证明OE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=2AB=2，求四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OA，由正三角形的性质得OA⊥BC，由射影性质得A₁O⊥底面ABC，从而BC⊥平面AOA₁，进而BC⊥EO，由OE⊥AA₁于E点，是OE⊥BB₁，由此能证明OE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥AA₁，BC⊥BB₁，可得S_□BB1C1C=BC×BB₁=2，利用等面积可得OE，根据体积公式，可得四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结OA，∵底面ABC为正三角形，∴OA⊥BC，
∵A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中点O，
∴A₁O⊥底面ABC，又BC?面ABC，
∴A₁O⊥BC，∴BC⊥平面AOA₁，
∵OE?平面AOA₁，∴BC⊥EO，
∵OE⊥AA₁于E点，∴OE⊥BB₁，
又BC∩BB₁=B，∴OE⊥平面BB₁C₁C．
（2Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥AA₁，∴BC⊥BB₁，
∵AA₁=2AB=2，
∴S_□BB1C1C=BC×BB₁=2，
Rt△AA₁O中，AA₁=2，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁O=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，利用等面积可得OE=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{8}$
故V_A-BB1C1C=$\frac{1}{3}$S_□BB1C1C×OE=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{21}}{8}$=$\frac{\sqrt{21}}{12}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理、四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积等基础知识，考查学生空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．