Question

12．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈R．，当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）

Answer 1

分析 由于1＜a＜6，可将f（x）化为分段函数形式，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

解答 解：∵1＜a＜6，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-（x+\frac{9}{x}），}&{1≤x≤a}\\{x-\frac{9}{x}，}&{a＜x≤6}\end{array}\right.$，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
∴当x=6时，f（x）取得最大值为f（6）=6-$\frac{9}{6}=\frac{9}{2}$．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=$\frac{9}{2}$，
若2a-6=$\frac{9}{2}$，解得a=$\frac{21}{4}$，
当3＜a≤$\frac{21}{4}$时，2a-6≤$\frac{9}{2}$，
当x=6时，f（x）取得最大值为$\frac{9}{2}$．
当$\frac{21}{4}$≤a＜6时，2a-6＞$\frac{9}{2}$，
当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}，}&{1＜a≤\frac{21}{4}}\\{2a-6，}&{\frac{21}{4}＜a＜6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查带绝对值的函数，考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数的最值的求法，突出分类讨论思想与化归思想的考查，属于难题