Question

20．已知点A（0，2），椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F是椭圆焦点，直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，O为坐标原点．
（1）求E的方程．
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆E交于不同的两点M，N，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN，点P恰在椭圆E上．
①求证：m²-k²是定值，并求出该定值；
②求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）F（-c，0），则$\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可；
（2）①设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，利用根与系数的关系可得x₁+x₂，x₁x₂．y₁+y₂，根据以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂），由于点P恰在椭圆E上，代入椭圆方程可得m²-k²=$\frac{1}{4}$为定值．
②由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．原点O到直线M的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用S_△OMN=$\frac{1}{2}d|MN|$即可得出．

解答 解：（1）F（-c，0），则$\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）①证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△＞0，化为1+4k²＞m²．
x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{-8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
∵以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN，
∴P（x₁+x₂，y₁+y₂），即$（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，\frac{2m}{1+4{k}^{2}}）$，
∵点P恰在椭圆E上，
∴$\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{4（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=1，化为m²-k²=$\frac{1+4{k}^{2}}{4（1+4{k}^{2}）}$=$\frac{1}{4}$为定值．
②解：|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}）}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
原点O到直线M的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}d|MN|$=$\frac{2\sqrt{[1+4{k}^{2}-（{k}^{2}+\frac{1}{4}）]（{k}^{2}+\frac{1}{4}）}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．