Question

15．过椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB，切点为A、B，PA、PB与x、y轴分别相交于M、N两点．
（1）若椭圆C的短轴长为8，且$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，求此椭圆的方程；
（2）试问椭圆C上是否存在满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的点P？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设点P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得直线AB的方程为${x}_{0}x+{y}_{0}y={b}^{2}$．由2b=8，可得直线AB的方程为x₀x+y₀y=16．可得M$（\frac{16}{{x}_{0}}，0）$，N$（0，\frac{16}{{y}_{0}}）$，|OM|=$\frac{16}{|{x}_{0}|}$，|ON|=$\frac{16}{|{y}_{0}|}$，代入$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，可得$\frac{{a}^{2}{x}_{0}^{2}}{1{6}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{16}=\frac{25}{16}$，又$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}^{2}}{16}=1$，联立可得a²=25，即可得出椭圆方程．
（2）假设存在点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，连接OA，OB，由|PA|=|PB|，可知：四边形PAOB为正方形，|OP|=$\sqrt{2}$|OA|，${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2{b}^{2}$，又点P在椭圆上，可得${a}^{2}{x}_{0}^{2}+{b}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$，联立${x}_{0}^{2}$，${y}_{0}^{2}$，即可得出体积．

解答 解：（1）如图所示，设点P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线PA的方程为：${x}_{1}x+{y}_{1}y={b}^{2}$，切线PB的方程为：${x}_{2}x+{y}_{2}y={b}^{2}$，
∴直线AB的方程为${x}_{0}x+{y}_{0}y={b}^{2}$．
∵2b=8，∴b=4，
∴直线AB的方程为x₀x+y₀y=16．
可得M$（\frac{16}{{x}_{0}}，0）$，N$（0，\frac{16}{{y}_{0}}）$，
∴|OM|=$\frac{16}{|{x}_{0}|}$，|ON|=$\frac{16}{|{y}_{0}|}$，代入$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，可得$\frac{{a}^{2}{x}_{0}^{2}}{1{6}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{16}=\frac{25}{16}$，（*）
又点P在椭圆上，∴$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}^{2}}{16}=1$，
变形为${y}_{0}^{2}=（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{16}）{a}^{2}$，代入（*）可得a²=25，
故所求椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$（xy≠0）．
（2）假设存在点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，连接OA，OB，
由|PA|=|PB|，可知：四边形PAOB为正方形，|OP|=$\sqrt{2}$|OA|，
∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2{b}^{2}$，
又点P在椭圆上，∴${a}^{2}{x}_{0}^{2}+{b}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2{b}^{2}}\\{{a}^{2}{x}_{0}^{2}+{b}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-2{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∵a＞b＞0，a²＞b²＞0，
∴当a²≥2b²＞0时，即$a≥\sqrt{2}b$时，椭圆C上存在满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的点P．
当a²＜2b²时，椭圆C上不存在满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的点P．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的切线问题、正方形的性质、垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．