Question

7．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点为（0，2），离心率为$\sqrt{3}$
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx-$\sqrt{2}$与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞-2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b²的值，则双曲线C的方程可求；
（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解k的取值范围，结合x₁x₂+y₁y₂＞-2，利用韦达定理，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
由已知得c=2，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
∴a=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，b²=c²-a²=$\frac{8}{3}$．
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{8}{3}}=1$；
（2）直线l：y=kx-$\sqrt{2}$与双曲线联立可得（6-3k²）x²+6$\sqrt{2}$kx-14=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得k²≠2，且k²＜$\frac{7}{2}$①
x₁+x₂=-$\frac{6\sqrt{2}k}{6-3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{14}{6-3{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞-2，得x₁x₂+y₁y₂＞-2，
而x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{-8{k}^{2}-8}{6-3{k}^{2}}$
于是$\frac{-8{k}^{2}-8}{6-3{k}^{2}}$＞-2，
∴$\frac{2}{7}$＜k²＜2，②
由①②得$\frac{2}{7}$＜k²＜2，∴k∈（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{14}}{7}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，是中档题．