Question

10．在复平面内一动点M所对应的复数z，z≠1，且满足$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数，又复数ω=$\frac{4}{（1+z）^{2}}$，它对应复平面上的动点P，在动点P（x，y）的集合中，是否存在关于直线y=x对称的两点，若存在，试求出这两点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据复数的基本运算，求出动点P的轨迹方程，利用设而不求的思想进行求解证明即可．

解答 解：∵$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数，
∴设$\frac{z-1}{z+1}$=ti，
则z-1=zti+ti，
z（1-ti）=1+ti
则z=$\frac{1+ti}{1-ti}$，
ω=$\frac{4}{（1+z）^{2}}$=$\frac{4}{（1+\frac{1+ti}{1-ti}）^{2}}$=$\frac{4}{（\frac{2}{1-ti}）^{2}}$=（1-ti）²=1-t²-2ti，
若ω对应点的坐标为（1-t²，-2t），
设x=1-t²，y=-2t，
消去参数t得x=1-$\frac{{y}^{2}}{4}$，
即y²=4（1-x）．
若存在关于直线y=x对称的两点A（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（1-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（1-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}）=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\\{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{（1-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}）（1-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）}×1=-1}\end{array}\right.$，
整理得$2-\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}={y}_{1}+{y}_{2}=4$，即y₁²+y₂²=-8不成立，
即不存在关于直线y=x对称的两点．

点评 本题主要考查复数的几何意义的应用以及动点轨迹的求解，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．