Question

18．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{α}{2}$）cos（x+$\frac{α}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{α}{2}$）-$\sqrt{3}$为偶函数，且α∈[0，π]．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若对任意的x₁，x₂∈（0，π），f（x₁）=f（x₂），求sin（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+α+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解．
（2）由f（x）为偶函数，则α+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，结合α的范围即可求α，从而可求f（x）=2cos2x，利用f（x₁）=f（x₂），由二倍角公式可解得：|cosx₁|=|cosx₂|或|sinx₁|=|sinx₂|，结合已知可得cosx₁=-cosx₂或sinx₁=sinx₂，由两角和的正弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{α}{2}$）cos（x+$\frac{α}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{α}{2}$）-$\sqrt{3}$=sin（2x+α）+$\sqrt{3}$cos（2x+α）=2sin（2x+α+$\frac{π}{3}$），
故函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）若f（x）为偶函数，则α+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
即α=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵α∈[0，π]．
∴α=$\frac{π}{6}$；即有：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2cos2x，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴2cos2x₁=2cos2x₂，可得：cos2x₁=cos2x₂，由二倍角公式可解得：|cosx₁|=|cosx₂|或|sinx₁|=|sinx₂|，
∵对任意的x₁，x₂∈（0，π），
∴cosx₁=-cosx₂或sinx₁=sinx₂，
∴sin（x₁+x₂）=sinx₁cosx₂+cosx₁sinx₂=0．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．