Question

8．已知数列{a_n}各项均不相等，满足a_n+a_n-2=2a_n-1（n≥3，n∈N⁺），其前3项的和为9，且a₄+1是a₂+1与a₈+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N⁺），且b₁=-1，求数列$\frac{1}{{b}_{n}+3n}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n+1-b_n=a_n=2n-1．利用“累加求和”可得b_n，再利用“裂项求和”可得数列$\{\frac{1}{{b}_{n}+3n}\}$的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}各项均不相等，满足a_n+a_n-2=2a_n-1（n≥3，n∈N⁺），
∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d．
∵前3项的和为9，且a₄+1是a₂+1与a₈+1的等比中项．
∴3a₁+3d=9，$（{a}_{4}+1）^{2}=（{a}_{2}+1）（{a}_{8}+1）$即$（{a}_{1}+1+3d）^{2}=（{a}_{1}+d+1）（{a}_{1}+7d+1）$，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵b_n+1-b_n=a_n=2n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-3）+（2n-5）+…+1-1
=$\frac{（n-1）（1+2n-3）}{2}$-1
=n²-2n．
$\frac{1}{{b}_{n}+3n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列$\{\frac{1}{{b}_{n}+3n}\}$的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．