Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱
SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）四棱锥S-ABCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（AD+BC）×AB×SA$；
（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$，
∴四棱锥S-ABCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（AD+BC）×AB×SA$=$\frac{1}{4}$；
（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（0.5，0，0，），S（0，0，1），
则$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0.5，0，-1）．
设平面SCD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{0.5x-z=0}\end{array}\right.$
令z=1，则x=2，y=-1．于是$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
∵$\overrightarrow{AD}$=（0.5，0，0），∴|cosα|=$\frac{1}{0.5×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查四棱锥S-ABCD的体积、平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值，考查学生的计算能力，正确求平面SCD的法向量是关键．