Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC上的点，且PM=2MC．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若AB=PD=2，求三棱锥D-BPM的体积．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，设AB=2AD=2a，再余弦定理证得AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论．
（2）过M作MF∥BC，交PB于F，证明MF⊥平面PBD，利用等体积法求得三棱锥D-BPM的体积．

解答 （1）证明：由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，
△ABD中，设AB=2AD=2a，∵∠BAD=60°，
∴cos∠BAD=$\frac{4{a}^{2}+{a}^{2}-B{D}^{2}}{2•2a•a}$=$\frac{1}{2}$，∴BD=$\sqrt{3}$a，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD．
∵PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB；
（2）解：过M作MF∥BC，交PB于F，
∵AD∥BC，
∴AD∥MF，
∵AD⊥平面PBD，
∴MF⊥平面PBD，
由（1）知，BD=$\sqrt{3}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$
∵PM=2MC，
∴$\frac{PM}{PC}=\frac{MF}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴MF=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$
∴V_D-BPM=V_M-BPD=$\frac{1}{3}$•S_△PBD•MF=$\frac{1}{3}$π$\sqrt{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查平面垂直的判定定理与性质，用等体积法求体积，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．