Question

1．如图，在矩形ABCD中，BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，且沿AF，BF分别将△AFD与△BFC折起来，使其顶点C与D重合于点P，若所得三棱锥P-ABF的顶点P在底面ABF内的射影O恰为EF的中点．
（1）求三棱锥P-ABF的体积；
（2）求折起前的△BCF与侧面BPF所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （ I ）证明PF⊥面PAB，求出棱锥的底面面积与高，即可利用${V}_{P-ABF}^{\;}=\frac{1}{3}{S}_{△ABF}^{\;}•PO$求解体积．
（II）法一：先求二面角P-BF-O．作OH⊥BF于H，连PH，说明∠PHO为二面角P-BF-O的平面角，解Rt△PHO中，即可求解二面角C-BF-P的大小．
法二：设平面PBF与平面BCF的夹角为φ，求解法向量，求解平面BCF的一个法向量，利用数量积求解二面角为钝二面角．

解答 解：（I）依题设：$\left\{\begin{array}{l}PF⊥PA\\ PF⊥PB\\ PA∩PB=P\end{array}\right.$⇒PF⊥面PAB
又依题设：O为EF的中点，且PO⊥EF⇒PE=PF，故△PEF是斜边为EF=2的等腰Rt△，
故$PO=1，PE=PF=\sqrt{2}$，且$AB=DC=2PF=2\sqrt{2}$，
又ABCD为矩形，且E，F为边的中点EF⊥AB，
故$V_{P-ABF}^{\;}=\frac{1}{3}S_{△ABF}^{\;}•PO=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×1=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
（II） 法一：因所求二面角与二面角P-BF-O互补，故先求二面角P-BF-O．作OH⊥BF于H，连PH，
则由PO⊥面ABCD知：OH为PH的射影⇒PH⊥BF⇒∠PHO为二面角P-BF-O的平面角，
在Rt△PBE中，由PH•BF=PF•PB易求得：$PH=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，又PO=1，
故在Rt△PHO中，由$sin∠PHO=\frac{PO}{PH}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$⇒∠PHO=$\frac{π}{3}$，
由此即知二面角C-BF-P的大小为$\frac{2π}{3}$．
法二：设平面PBF与平面BCF的夹角为φ，并设
其法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则由$\overrightarrow{BF}$=$（-2，-\sqrt{2}，0）$，

$\overrightarrow{PF}$=（-1，0，-1），以及$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}-2x-\sqrt{2}y=0\\-x-z=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{2}x\\ z=-x\end{array}\right.$
取x=1，得平面PBF
的一个法向量为：$\overrightarrow{n}=（1，-\sqrt{2}，-1）$；而平面BCF的一个法向量为：$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，
故由$cosϕ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{1}{2}$$⇒φ=\frac{π}{3}$．而所求二面角为钝二面角，
故其大小为$π-φ=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查空间几何体的体积以及二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力以及计算能力．