Question

12．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；
（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥BD于E，由此能证明AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（Ⅲ）根据线面平行的判定定理，利用向量法建立共线共线，设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$，解方程即可．

解答 （Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴AD=BD=DC，
又∠BAC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．
如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1．
由图1条件计算得则AE=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），F（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，2，0）．
则$\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{AD}=（0，1，-\sqrt{3}）$，
易知，平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{ED}$=（0，1，0）．
设平面ADC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，得y=$\sqrt{3}$，x=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（Ⅲ）解：设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$，其中λ∈[0，1]．
∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}λ，0，（1-λ）\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}=0$，得$\frac{\sqrt{3}}{3}$$λ-（1-λ）\sqrt{3}=0$，
解得$λ=\frac{3}{4}$∈[0，1]．
∴在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，综合性较强，运算量较大．