Question

4．已知直线y=m与函数f（x）=sin²ωx-sinωxcosωx（ω＞0）的图象相切，并且两相邻切点的横坐标之差为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω，m的值．
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，由题意可得：$\frac{π}{2}$=T=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω．m为最大值或最小值．
（2）由（1）可得：f（x）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，由2k$π-\frac{π}{2}$$≤4x+\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解得x范围，即可得出得到区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sin²ωx-sinωxcosωx=$\frac{1-cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}sin2ωx$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，
由题意可得：$\frac{π}{2}$=T=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=2．
m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由（1）可得：f（x）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
由2k$π-\frac{π}{2}$$≤4x+\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解得$\frac{kπ}{2}-\frac{3π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，（k∈Z）．
∴$[\frac{kπ}{2}-\frac{3π}{16}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{16}]$∩[0，$\frac{π}{2}$]=$[0，\frac{3π}{16}]$∪$[\frac{5π}{16}，\frac{π}{2}]$，（k∈Z）．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间是：$[0，\frac{3π}{16}]$，$[\frac{5π}{16}，\frac{π}{2}]$，（k∈Z）．

点评 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．