Question

14．设函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，使得对于任意x∈D，有（x+k）∈D，且f（x+k）≥f（x），则称f（x）是D上的“k级增函数”．
（1）试判断函数f（x）=sinx是否为R上的“k级增函数”？请说明理由；
（2）试证明：对任意的实数k∈（0，4），函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x≥0）}\\{{-x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$不是R上的“k级增函数”；
（3）已知奇函数g（x）是R上的“4级增函数”，且当x≥0时，g（x）=|x-a²|-a²，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据“k级增函数”的定义分别进行验证不等式f（x+k）≥f（x）是否恒成立即可．

解答 解：（1）∵sin（x+2π）=sinx，
∴sin（x+2π）≥sinx恒成立，
∴函数f（x）=sinx为R上的2π级增函数．
（2）作出函数f（x）的图象如图：
假设当k=2时，则f（-1+2）=f（1）=1-2=-1，而f（-1）=-1+2=1，
此时不满足f（-1+2）≥f（1），
故函数h（x）不是R上的“k级增函数”；
（3）根据题意，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，
则当x≥a²时，f（x）=x-2a²，
0≤x≤a²时，f（x）=-x，
由奇函数对称性，有则当x≤-a²时，f（x）=x+2a²，
-a²≤x≤0时，f（x）=-x，
图象如图：易得其图象与x轴交点为M（-2a²，0），N（2a²，0）
因此f（x）在[-a²，a²]是减函数，其余区间是增函数．
f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），
故当-2a²≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a²；
有-2a²≤x≤0且x+4≥2a²可得4≥4a²；
解可得：-1≤a≤1；

点评 本题主要考查与函数有关的新定义的应用，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键，综合性较强，难度较大．