Question

9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱AB，A₁D₁，AD的中点，求证：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）MN⊥AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要证明MP∥BD，NP∥DD₁，利用面面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）由已知容易得到NP⊥底面ABCD，利用射影定理，只要证明MP⊥AC即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱AB，A₁D₁，AD的中点，
∴MP∥BD，NP∥DD₁，
∴平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD₁，又DD₁⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影为MP，
∵M，N是AB，A₁D₁的中点，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．

点评 本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用．