Question

18．如图正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，P为侧棱SD上靠近D的三等分点，
（1）若SD⊥PC，求正四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在请找到点E并求SE：EC的比值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设正四棱锥的侧棱长为3a，由勾股定理SD²-SP²=CP²=CD²-PD²可得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，再求正四棱锥S-ABCD的体积；
（2）取SC中点为E，线段SD靠近S的三等分点Q，连接BQ，BD，证明平面BEQ∥平面PAC，可得BE∥平面PAC．

解答 解：（1）设正四棱锥的侧棱长为3a，
∵CP⊥SD．∴三角形SPC与三角形CDP皆为RT△，
由勾股定理SD²-SP²=CP²=CD²-PD²可得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴侧棱长为$\sqrt{6}$…..（2分）
∵四棱锥的高SO=2，
∴V_s-ABCD=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{8}{3}$…．（4分）
（2）取SC中点为E，E点为所求，∴SE：EC=1：1
取线段SD靠近S的三等分点Q，连接BQ，BD．
设AC，BD交于O点连接OP，
取SC中点为E，连接QE，…（6分）
在面SBD中，∵O是BD的中点，P是QD的中点，
∴PO是三角形DBQ在BQ边的中位线，∴OP∥BQ，
∵OP?平面BEQ，BQ?平面BEQ，
∴OP∥平面BEQ，
在面SCD中，∵E是SC的中点，Q是SP的中点，
∴EQ是三角形SCP在PC边的中位线，∴EQ∥PC，
∵CP?平面BEQ，EQ?平面BEQ，
∴CP∥平面BEQ，
∵OP∩CP=P，
∴面BEQ∥面APC，
∵BE?面BEQ，
∴BE∥面PAC…（12分）

点评 本题主要考查立体几何中平面与平面平行的性质，正四棱锥S-ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．