Question

8．在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走$\sqrt{3}$千米，测得塔顶仰角为4θ（三个侧量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高．

Answer 1

分析 作出草图：先根据题意确定PA、PB、PC和BC的值，在△BPC中应用余弦定理可求得cos2θ的值，进而可确定2θ的值，然后在△PCD中可求得PD的长度，从而确定答案．

解答 解：如图，依题意有PB=BA=3，PC=BC=$\sqrt{3}$．
在△BPC中，由余弦定理可得
cos2θ=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\sqrt{3}×3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以2θ=30°，4θ=60°，θ=15°
在△PCD中，
可得PD=PC•sin4θ=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$（千米）．

点评 本题主要考查余弦定理的应用．考查应用余弦定理解决实际问题的能力．