Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{AB}$．
（1）求直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求直线PB平面PCD的所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{BD}$的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出这两向量夹角的余弦值，从而得出直线PC和BD所成角的余弦值；
（2）设出平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DC}}\end{array}\right.$，进而得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，从而求出$\overrightarrow{n}$，向量$\overrightarrow{PB}$的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的坐标公式求出cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$，从而PB和平面PCD所成角的正弦值便为|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$|．

解答 解：（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；
∵$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}$；
∴C（2，2，0）；
∴$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2），\overrightarrow{BD}=（-1，2，0）$；
∴cos$＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{2}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$；
∴直线PC与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
（2）$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=z}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$；
又$\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$；
设直线PB和平面PCD所成角为θ，则：
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
∴直线PB平面PCD的所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．