Question

12．已知函数f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（cosx）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）把原函数求导数，取x=$\frac{2}{3}$得到f′（$\frac{2}{3}$）的值，再代入原函数，求导后由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调区间；
（2）令t=cosx换元，由（1）中所求的单调区间求函数f（t）的最值，即可得到f（cosx）的最小值和最大值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，得
${f}^{′}（x）=3{x}^{2}+2{f}^{′}（\frac{2}{3}）x-1$，取x=$\frac{2}{3}$，得${f}^{′}（\frac{2}{3}）=3×\frac{4}{9}+\frac{4}{3}{f}^{′}（\frac{2}{3}）-1$，即${f}^{′}（\frac{2}{3}）=-1$．
∴f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x=x³-x²-x．
则f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
当x∈（$-∞，-\frac{1}{3}$），（1，+∞）时f′（x）＞0，当x$∈（-\frac{1}{3}，1）$时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（$-∞，-\frac{1}{3}$），（1，+∞）；
单调减区间为$（-\frac{1}{3}，1）$；
（2）令t=cosx，则t∈[-1，1]．
由（1）知，f（t）在$[-1，-\frac{1}{3}）$上为增函数，在$（-\frac{1}{3}，1]$上为减函数，
而f（-1）=（-1）³-（-1）²-（-1）=-1，$f（-\frac{1}{3}）=（-\frac{1}{3}）^{3}-（-\frac{1}{3}）^{2}-（-\frac{1}{3}）$=$\frac{5}{27}$，f（1）=1³-1²-1=-1．
∴f（cosx）的最小值为-1，最大值为$\frac{5}{27}$．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，训练了换元法在解题中的应用，是中档题．