Question

1．已知正项递增的等比数列{a_n}中，a₁=1，2a₃与$\frac{3}{2}$a₅的等差中项为2a₄，数列{b_n}的前n项和为S_n满足S_n=$\frac{n{b}_{n}}{2}$，且b₂=1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质可得a_n，利用递推式与“累乘求积”可得b_n；
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．由${a}_{n}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$=${2}^{n-1}+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设正项递增的等比数列{a_n}的公比q＞1，
∵2a₃与$\frac{3}{2}$a₅的等差中项为2a₄，a₂与a₆的等比中项为8，
∴4a₄=$2{a}_{3}+\frac{3}{2}{a}_{5}$，a₂a₆=64，
∴$4{a}_{1}{q}^{3}=2{a}_{1}{q}^{2}+\frac{3}{2}{a}_{1}{q}^{4}$，${a}_{1}^{2}{q}^{6}$=64，
解得：a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
∵S_n=$\frac{n{b}_{n}}{2}$，∴当n=2时，b₁+b₂=b₂，解得b₁=0，
当n≥3时，S_n-1=$\frac{（n-1）{b}_{n-1}}{2}$，
2b_n=nb_n-（n-1）b_n-1，
化为$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}•\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$•b₂
=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•1
=n-1，
∴b_n=n-1，
上式对于n=1，2时也成立．
∴b_n=n-1．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．
∴${a}_{n}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$=${2}^{n-1}+\frac{2}{n（n+1）}$=${2}^{n-1}+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{a_n+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$}的前n项和T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}+2（1-\frac{1}{n+1}）$
=2ⁿ+1-$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式与“累乘求积”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．