如图.在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别F1.F2.动直线l与椭圆相切于点P.作F1A.F2B垂直于直线l.垂足分别为A.B.记λ=$\frac{B{F} {2}}{A{F} {1}}$．当P为左顶点时.λ=9.且λ=1时.四边形AF1F2B的周长为22．(1)试确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F₁、F₂，动直线l与椭圆相切于点P，作F₁A，F₂B垂直于直线l，垂足分别为A，B，记λ=$\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}}$．当P为左顶点时，λ=9，且λ=1时，四边形AF₁F₂B的周长为22．
（1）试确定椭圆的标准方程；
（2）求证：BF₂•AF₁为定值．

分析（1）通过当P为左顶点时λ=9及PF₂-PF₁=2c，得4a=5c，再通过λ=1时四边形AF₁F₂B的周长为22，可知b+2c=11，计算即可；
（2）设直线l与坐标轴的交点分别为M（m，0），N（0，n），（m、n＞0），通过直线l的方程nx+my-mn=0，可得BF₂=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，AF₁=$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，再利用直线l与椭圆相切，即9m²+9n²+16n²-m²n²=0，可得BF₂•AF₁=9．

解答（1）解：当P为左顶点时，λ=9，即PF₂=9PF₁，
又∵PF₂-PF₁=2c，∴c=4PF₁=4a-4c，即4a=5c，
当λ=1时，四边形AF₁F₂B的周长为22，
即2b+4c=22，∴b+2c=11，
又∵a²-b²=c²，∴a=5，b=3，c=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）证明：由（1）知F₁（-4，0），F₂（4，0），
设直线l与坐标轴的交点分别为M（m，0），N（0，n），（m、n＞0），
则直线l的方程为：nx+my-mn=0，
∴BF₂=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，AF₁=$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
联立直线l与椭圆方程，消去y得：$（9+\frac{25{n}^{2}}{{m}^{2}}）{x}^{2}$-$\frac{50{n}^{2}}{m}x$+25n²-225=0，
∵直线l与椭圆相切，∴△=$（\frac{50{n}^{2}}{m}）^{2}$-$4×（9+\frac{25{n}^{2}}{{m}^{2}}）（25{n}^{2}-225）$=0，
化简，得9m²-m²n²+25n²=0，即9m²+9n²+16n²-m²n²=0，
∴BF₂•AF₁=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$•$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{|16{n}^{2}-{m}^{2}{n}^{2}|}{{m}^{2}+{n}^{2}}$=9．

点评本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，注意解题方法的积累，属于难题．

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B．

$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$

C．

$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$

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