Question

7．已知单位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，其中k＞0，则下列与向量$\overrightarrow{b}$垂直的向量可以是（　　）

• A． 6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$
• B． $\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$
• C． $\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 运用向量的平方即为模的平方，可得k²+4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=0，对选项一一考虑，运用向量垂直的条件，求出k，结合条件k＞0，即可判断．

解答 解：单位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
则（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）²=3（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k²$\overrightarrow{b}$²=3（k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$），
即为k²+4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=0，
若6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{b}$垂直，则（6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$，
即有k²-$\frac{4}{3}$k+1=0，由于判别式小于0，则k无实数解，不成立；
若$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$向量$\overrightarrow{b}$垂直，由上面的分析可知，也不成立；
若$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$向量$\overrightarrow{b}$垂直，则（$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，
即有k²+6k+1=0，可得k有两个负根，不成立；
若$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$向量$\overrightarrow{b}$垂直，则（$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{3}{4}$
即有k²-3k+1=0，可得k有两个正根，成立．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的性质和运用，同时考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．