Question

19．已知，点I是△ABC的内心，E，F分别在AB，AC上，且EF过点I，AE=AF，BE=4，CF=3，则EF的长为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AI，BI，CI，设EF=2x，确定$∠CIF=\frac{B}{2}$，$∠BIC=\frac{C}{2}$．设$\frac{B}{2}$=α，$\frac{C}{2}$=β，在△CIF、△BIE中，利用正弦定理，即可得出结论．

解答 解：连接AI，BI，CI，设EF=2x，
因为AE=AF，所以FI=EI=x，∠AIF=90°，
在△AIC中，$\frac{A}{2}+\frac{C}{2}+90°+∠CIF$=180°，$∠CIF=\frac{B}{2}$，
同理，在△AIB中，$∠BIC=\frac{C}{2}$．
设$\frac{B}{2}$=α，$\frac{C}{2}$=β，
在△CIF中，由正弦定理可得$\frac{x}{sinβ}=\frac{CF}{sinα}=\frac{3}{sinα}$①
在△BIE中，由正弦定理可得$\frac{x}{sinα}=\frac{BE}{sinβ}=\frac{4}{sinβ}$②
①×②得$\frac{{x}^{2}}{sinαsinβ}=\frac{3×4}{sinαsinβ}$，
∴x=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度大．