Question

4．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并求其最值；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＞ax²-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的导数f′（x），判断f（x）的单调性以及求函数的极值与最值；
（2）利用分离常数法，求出a的不等式，构造函数g（x），求出g（x）的取值范围即得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，x∈R，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数，
x＞0时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
∴x=0时，f（x）取得极小值，也是最小值，为f（0）=1；
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞ax²-1恒成立，
∴x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞ax²-1，
即a＜$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{{x}^{2}e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{{x}^{2}e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中x＞0，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2+x}{{{x}^{3}e}^{x}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=-$\frac{{2e}^{x}+{xe}^{x}+2+x}{{{x}^{3}e}^{x}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
∴g（x）＞0，即a≤0；
∴实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性与求极值的应用问题，是综合性题目．