Question

8．已知函数f（x）=mx³+3（m-1）x²-m²+1（m＞0）的单调减区间是（0，4），则m=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，得到f′（x）＜0的解集为（0，4），转化为一元二次不等式进行求解即可．

解答 解：函数的导数为f′（x）=3mx²+6（m-1）x，
∵函数f（x）=mx³+3（m-1）x²-m²+1（m＞0）的单调减区间是（0，4），
∴f′（x）=3mx²+6（m-1）x＜0的解集为（0，4），
即x=0和x=4是方程3mx²+6（m-1）x=0的两个根，
则48m+24（m-1）=0，
即2m+m-1=0，
解得m=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，求函数的导数，利用导数求解是解决本题的关键．