Question

2．如图，过四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF．
（1）请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；
（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB₁D₁D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面A₁C₁CA．

Answer 1

分析 （1）此题实际上是在平面A₁B₁C₁D₁形上找到过点P的线段EF，EF∥BD；
（2）欲证明平面BDEF⊥平面A₁C₁CA，只需证得BD⊥平面A₁C₁CA．

解答 解：（1）在上底面内过点P作B₁D₁的平行线分别交A₁D₁、A₁B₁于F、E两点，则EF即为所作的锯线．
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
所以四边形BB₁D₁D是平行四边形，B₁D₁∥BD．
又平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，平面BDFE∩平面ABCD=BD，平面BDFE∩平面A₁B₁C₁D₁=EF，
所以EF∥BD，
从而EF∥B₁D₁；
（2）证明：由于四边形BB₁D₁D是矩形，所以BD⊥B₁B．
又A₁A∥B₁B，
∴BD⊥A₁A．
又四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AC∩A₁A=A，AC?平面A₁C₁CA，A₁A?平面A₁C₁CA，
∴BD⊥平面A₁C₁CA．
∵BD?平面BDFE，
∴平面BDFE⊥平面A₁C₁CA．

点评 本题考查了棱柱的结构特征和平面与平面垂直的判定．解题时利用了“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”证得（2）的结论．