Question

11．已知函数f（x）=x³+ax+b（a，b∈R）．
（1）若f（x）的图象在-2≤x≤2部分在x轴的上方，且在点（2，f（2））处的切线与直线9x-y+5=0平行，试求b的取值范围；
（2）当x₁，x₂∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，且x₁≠x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a=-3，再由不等式恒成立思想求得f（x）的最小值，即可得到b的范围；
（2）由题意可得不等式即为$\frac{（f（{x}_{1}）-{x}_{1}）-（f（{x}_{2}）-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0且$\frac{（f（{x}_{1}）+{x}_{1}）-（f（{x}_{2}）+{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则y=f（x）-x在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]递减，y=f（x）+x在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]递增．运用导数判断单调性，再由恒成立思想解不等式即可得到a的范围．

解答 （1）解：函数f（x）=x³+ax+b的导数为f′（x）=3x²+a，
在点（2，f（2））处的切线斜率为k=12+a，
由切线与直线9x-y+5=0平行，可得12+a=9，
解得a=-3，
则f（x）=x³-3x+b＞0在[-2，2]恒成立．
f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0可得x=±1，
由于f（1）=b-2，f（-1）=b+2，f（2）=b+2，f（-2）=b-2，
则f（x）在[-2，2]的最小值为b-2，
由恒成立思想可得b-2＞0，
解得b＞2；
（2）|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|即为
-1＜$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1，即有$\frac{（f（{x}_{1}）-{x}_{1}）-（f（{x}_{2}）-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0
且$\frac{（f（{x}_{1}）+{x}_{1}）-（f（{x}_{2}）+{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
则y=f（x）-x在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]递减，y=f（x）+x在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]递增．
由y′=3x²+a-1≤0在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]上恒成立，即有3×$\frac{1}{3}$+a-1≤0，解得a≤0；
由y′=3x²+a+1≥0在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]上恒成立，即有3×0+a+1≥0，解得a≥-1．
综上可得，a的取值范围是-1≤a≤0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，不等式恒成立的思想方法，注意运用转化思想是解题的关键．