Question

1．已知数列{a_n}，a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$），求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知直接利用累积法求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$），利用对数的运算性质整理得到数列{b_n}的前n项和S_n，
求出数列首项，再由b_n=S_n-S_n-1求得数列通项公式；
（3）由数列{b_n}得通项公式得到数列是以-9为首项，以1为公差的等差数列，b_n=n-10≤0，得n≤10，说明数列{b_n}的前10项小于等于0，自第11项起大于0，
然后分n≤10和n＞10求得数列{|b_n|}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1（n≥2，n∈N^*），得
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=3^n-1•3^n-2…3¹•1=3^{1+2+…+（n-1）}=${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$（n≥2，n∈N^*）．
当n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$；
（2）由S_n=log₃（$\frac{{a}_{n}}{2{7}^{3n}}$）=$lo{g}_{3}（\frac{{3}^{\frac{（n-1）n}{2}}}{2{7}^{3n}}）$=$lo{g}_{3}{3}^{\frac{{n}^{2}-19n}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-19n}{2}$．
当n=1时，b₁=S₁=-9；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}-19n}{2}-\frac{（n-1）^{2}-19（n-1）}{2}$=n-10．
当n=1时上式成立．
∴b_n=n-10；
（3）∵b_n=n-10，∴b_n+1-b_n=1，
则数列{b_n}是以-9为首项，以1为公差的等差数列，
由b_n=n-10≤0，得n≤10，
∴数列{b_n}的前10项小于等于0，自第11项起大于0，
当n≤10时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b_n）=-[-9n+$\frac{n（n-1）×1}{2}$]=$-\frac{{n}^{2}-19n}{2}$；
当n＞10时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b₁₀）+（b₁₁+…+b_n）
=-2（b₁+b₂+…+b₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀+b₁₁+…+b_n）
=-2×$\frac{1{0}^{2}-190}{2}$+$\frac{{n}^{2}-19n}{2}$=$\frac{{n}^{2}-19n+180}{2}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}-19n}{2}，n≤10}\\{\frac{{n}^{2}-19n+180}{2}，n＞10}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．