Question

9．如图所示，在五棱锥P-ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面α与棱PB、PC分别交于点G、H．
（1）求证：DE∥FG；
（2）设DE=1，求三棱锥G-PEF的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定与性质，证明DE∥FG；
（2）由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点，利用三棱锥G-PEF的体积=$\frac{1}{2}$V_B-PEF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{V}_{B-PEA}$=$\frac{1}{4}×{V}_{P-BEA}$，即可求三棱锥G-PEF的体积．

解答 （1）证明：∵AB∥DE，AB?平面PAB，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB，
∵DE?α，α∩平面PAB=FG，
∴DE∥FG；
（2）解：由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点，
∴三棱锥G-PEF的体积=$\frac{1}{2}$V_B-PEF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{V}_{B-PEA}$=$\frac{1}{4}×{V}_{P-BEA}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}{S}_{△BEA}×PE$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥G-PEF的体积，正确运用线面平行的判定与性质是关键．