Question

20．已知P为△ABC所在平面外一点，G₁、G₂、G₃分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心；D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．
（1）求证：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求S_△$_{{G_1}{G_2}{G_3}}$：S_△ABC=1：9．

Answer 1

分析 （1）利用三角形重心的性质，结合线面平行的判定定理，证明G₁G₂∥平面ABC，G₂G₃∥平面ABC，再证明平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）证明△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比为1：3，可得结论．

解答 （1）证明：如图所示，连接PG₁、PG₂、PG₃并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，
连接DE、EF、FD，则有PG₁：PD=2：3，PG₂：PE=2：3，∴G₁G₂∥DE．
又G₁G₂不在平面ABC内，∴G₁G₂∥平面ABC．
同理G₂G₃∥平面ABC．
又因为G₁G₂∩G₂G₃=G₂，∴平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）解：由（1）知$\frac{{P{G_1}}}{PD}=\frac{{P{G_2}}}{PE}$=$\frac{2}{3}$，∴G₁G₂=$\frac{2}{3}$DE．
又DE=$\frac{1}{2}$AC，∴G₁G₂=$\frac{1}{3}$AC．
同理G₂G₃=$\frac{1}{3}$AB，G₁G₃=$\frac{1}{3}$BC．
∴△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比为1：3，
∴${S}_{△{G}_{1}{G}_{2}{G}_{3}}$：S_△ABC=1：9．
故答案为：1：9

点评 要证“面面平行”，只要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．