Question

1．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=x²-ax-alnx图象上不同的任意两点，设x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，试探究函数（x）在点Q（x₀，f（x₀））处的切线与直线AB的位置关系．

Answer 1

分析 由求导公式求出f′（x），根据导数的几何意义求出在点Q（x₀，f（x₀））处的切线斜率k，再由斜率公式求出直线AB的斜率，化简后根据a的值进行判断即可．

解答 解：由题意得，$f′（x）=2x-a-\frac{a}{x}$（x＞0），
因为x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，所以$f′（{x}_{0}）=2{x}_{0}-a-\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₁+x₂）-a-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
则函数（x）在点Q（x₀，f（x₀））处的切线斜率k=（x₁+x₂）-a-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
又x₁≠x₂，则直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-a{x}_{2}-aln{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}-a{x}_{1}-aln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）-a{（x}_{2}-{x}_{1}）-a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}-a）-aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x₁+x₂-a）-$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
所以当a=0时，k=k_AB=x₁+x₂，则切线与直线AB平行，
当a≠0时，k≠k_AB成立，则切线与直线AB相交，
综上可得，切线与直线AB平行或相交．

点评 本题考查导数的几何意义，直线斜率公式，考查化简、变形能力和分析解决问题的能力．