Question

6．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{tanAtanB}{tanA+tanB}$=1007tanC，且a²+b²=mc²，则m=2015．

Answer 1

分析 同角三角函数的基本关系，正弦定理可得 c²=$\frac{ab•cosC}{1007}$．再根据 a²+b²=mc²，求得m=$\frac{2014{（a}^{2}{+b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{2014{（a}^{2}{+b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}-\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{m}}$，解方程求出m值．

解答 解：△ABC中，∵$\frac{tanAtanB}{tanA+tanB}$=1007tanC，且a²+b²=mc²，则 $\frac{sinAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=1007$\frac{sinC}{cosC}$，
∴sinAsinBcosC=1007sinCsin（A+B）=1007sin²C．
再利用正弦定理可得ab•cosC=1007c²，∴c²=$\frac{ab•cosC}{1007}$．
又a²+b²=mc²，∴a²+b² =m•$\frac{ab•cosC}{1007}$=$\frac{mab•\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}}{1007}$=$\frac{m{（a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}）}{2014}$．
∴m=$\frac{2014{（a}^{2}{+b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{2014{（a}^{2}{+b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}-\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{m}}$，∴2014（a²+b²）=m（a²+b²）-（ a²+b² ），
∴m=2015，
故答案为：2015．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点，属于中档题．