Question

11．设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0）右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的两实根分别为x₁，x₂，则x₁²+x₂²的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{2}$]
• B． （1，$\frac{3}{2}$]
• C． （1，$\frac{3}{4}$]
• D． （1，$\frac{7}{4}$]

Answer 1

分析 b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0，可得$\frac{b}{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得0＜$e=\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，再利用一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0，∴$\frac{b}{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜$e=\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$≤$\frac{1}{2}$
∵方程ax²+bx-c=0的两实根分别为x₁，x₂，△＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{c}{a}$．
则x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{2c}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$+2e=-e²+2e+1=-（e-1）²+2，
∵$0＜e≤\frac{1}{2}$，
∴x₁²+x₂²的取值范围是$（1，\frac{7}{4}]$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．