Question

1．如图，F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=-$\frac{1}{2}$上．
（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求得A点的横坐标为-1，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，解得y的值，可得A的纵坐标，再根据中点公式求得M的坐标．
（2）当AB垂直于x轴时，易得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$的值．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（-$\frac{1}{2}$，m），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}{{+y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$可得 k=$\frac{1}{4m}$，可得AB的方程为y=$\frac{1}{4m}$x+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ①．把①代入椭圆方程化简利用韦达定理，由判别式大于零，求得m²的范围，化简 $\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$ 为 $\frac{3{（8m}^{2}+1）+8}{8（1{+8m}^{2}）}$．令t=1+8m²，则1＜t＜8，再根据函数的单调性求得 $\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范围．

解答 解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=-$\frac{1}{2}$上，
∴A点的横坐标为-1，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，解得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故点A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或点A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴线段AB的中点M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（2）由于F₁（-1，0），F₂（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=-$\frac{1}{2}$，点A（-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{\frac{7}{8}}$）、
B（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{\frac{7}{8}}$），
求得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{11}{8}$．
当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（-$\frac{1}{2}$，m），A（x₁，y₁ ），B （x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}{{+y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$可得 （x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=0，∴-1=-4mk，即 k=$\frac{1}{4m}$，
故AB的方程为 y-m=$\frac{1}{4m}$（x+$\frac{1}{2}$），即 y=$\frac{1}{4m}$x+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ①．
再把①代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得x²+x+$\frac{1}{4}$•$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$=0．
由判别式△=1-$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$＞0，可得0＜m²＜$\frac{7}{8}$．
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$，y₁•y₂=（$\frac{1}{4m}$•x₁+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ）（$\frac{1}{4m}$x₂+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-1，y₁ ）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂+y₁•y₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{3{（8m}^{2}+1）+8}{8（1{+8m}^{2}）}$．
令t=1+8m²，则1＜t＜8，∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{{3t}^{2}+8}{8t}$=$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]．
再根据$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]在（1，$\sqrt{\frac{8}{3}}$）上单调递减，在（$\sqrt{\frac{8}{3}}$，8）上单调递增求得$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范围为[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{25}{8}$）．
综上可得，$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范围为[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

点评 本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．