Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，P为椭圆上异于A₁，A₂的点，PA₁和PA₂的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 对第（1）问，先由|A₁A₂|=4，得到椭圆左、右顶点的坐标，再由PA₁和PA₂的斜率之积为$-\frac{3}{4}$，求出b²的值，即得椭圆标准方程；
对第（2）问，先设出直线MN的方程，再由弦长公式，得到△OMN的底边MN的长，并由点到直线的距离公式得到△OMN的高，从而列出△OMN面积的表达式，最后可探求面积的最大值．

解答 解：（1）由|A₁A₂|=2a=4，得a=2，所以A₁（-2，0），A₂（2，0）．
设P（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-\frac{3}{4}}\\{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=\frac{{4-x}_{0}^{2}}{4}}\\{\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}_{0}^{2}}=1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得b²=3．
于是，椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                                      
（2）①当直线MN垂直于x轴时，设MN的方程为x=n，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=n}\end{array}\right.$，得$M（n，\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}）$，$N（n，-\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}）$，
从而S_△OMN=$\frac{1}{2}×n×2\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}$=$\sqrt{3{n}^{2}-\frac{3}{4}{n}^{4}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{-\frac{1}{4}（{n}^{2}-2）^{2}+1}$，
当n=±$\sqrt{2}$时，△OMN的面积取得最大值$\sqrt{3}$．                          
②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得4k²-m²+3＞0．           
则由韦达定理，得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
从而|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$$•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$．
又因为原点O到直线MN的距离$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|MN|•d$
=$2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$≤$2\sqrt{3}•\frac{\frac{（3+4{k}^{2}-{m}^{2}）+{m}^{2}}{2}}{3+4{k}^{2}}=\sqrt{3}$，
当且仅当3+4k²=2m²时，S_△OMN取得最大值$\sqrt{3}$．                         
综合①②知，△OMN的面积取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆标准方程的求解及直线和椭圆相交时对应三角形面积最值的探求，关键是联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及弦长公式、点到直线距离公式得到三角形面积的表达式，再利用基本不等式获得最值，求解时应注意以下几点：
1．对斜率不存在的情况进行讨论．
2．联立直线与椭圆的方程消元后，得到关于x的一元二次方程，判别式△＞0．
3．利用基本不等式时必需满足等号成立的条件．