Question

1．椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，1}]$
• B． $[{\frac{3}{4}，1}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}]$
• D． $[{\frac{3}{8}，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 由题意求A₁、A₂的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA₁斜率的取值范围．

解答 解：由椭圆的标准方程可知，
左右顶点分别为A₁（-2，0）、A₂（2，0），
设点P（a，b）（a≠±2），则
$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{3}$=1…①，${k}_{{PA}_{1}}$=$\frac{b}{a+2}$，${k}_{{PA}_{2}}$=$\frac{b}{a-2}$；
则${k}_{{PA}_{1}}•{k}_{{PA}_{2}}$=$\frac{b}{a+2}•\frac{b}{a-2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-4}$，
将①式代入得${k}_{{PA}_{1}}•{k}_{{PA}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∵${k}_{{PA}_{2}}$∈[-2，-1]，
∴${k}_{{PA}_{1}}$∈$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．
故选：D．

点评 本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．