Question

9．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k，使a_k，S_2k-1，a_4k成等比数列？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将n=1代入式子即可求解；
（2）由a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1得${4S}_{n}=（{a}_{n+1}-1）^{2}$，令n取n-1代入上式可得${4S}_{n-1}={（{a}_{n}-1）}^{2}$，两个式子相减后进行化简，利用等差数列的定义判断，再由等差数列的通项公式求出a_n；
（3）先假设存在正整数k满足条件，利用等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程，化简后求出k的值，再由k是正整数进行判断．

解答 解：（1）因为a₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，
所以a₂=2$\sqrt{{S}_{1}}$+1=2+1=3；
（2）由a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1得，${4S}_{n}=（{a}_{n+1}-1）^{2}$，
所以当n≥2时，${4S}_{n-1}={（{a}_{n}-1）}^{2}$，
两个式子相减得，4a_n=（a_n+1+a_n-2）（a_n+1-a_n），
化简得，（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
因为数列{a_n}的各项均为正数，
所以a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
所以数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
则a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（3）假设存在正整数k使a_k，S_2k-1，a_4k成等比数列，
则${{S}_{2k-1}}^{2}={a}_{k}{a}_{4k}$，
所以${[（2k-1）+\frac{（2k-1）（2k-1-1）}{2}×2]}^{2}$=（2k-1）（8k-1），
（2k-1）³=8k-1，化简得4k²-6k-1=0，
解得${k}_{1}=\frac{6+\sqrt{52}}{8}$，${k}_{2}=\frac{6-\sqrt{52}}{8}$，
因为k是正整数，所以不存在正整数k满足条件．

点评 本题考查等差数列的证明方法：定义法，等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式，以及数列的递推公式的化简及应用，考查化简、变形能力．