Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD（1）若M，N分别为PC，BD的中点，求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（3）若PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接AC，由底面ABCD是正方形，N是AC的中点，利用三角形的中位线定理可得：MN∥PA，再利用线面平行的判定定理可得MN∥平面PAD；
（2）利用线面垂直的性质定理可得：AD⊥平面PCD，即可证明平面PAD⊥平面PCD；
（3）由PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，可得PD⊥CD，PD⊥平面ABCD．即可得出四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}•PD•{S}_{正方形ABCD}$．

解答 （1）证明：如图所示，连接AC，由底面ABCD是正方形，
∴N是AC的中点，
在△PAC中，又PM=MC，
∴MN∥PA，
又PA?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）证明：∵侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，
又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（3）解：由PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，
∴PD²+CD²=PC²，
∴PD⊥CD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PD⊥平面ABCD．
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}•PD•{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×$2×2²=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理、四棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．