Question

19．设函数f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）$≤\frac{4}{5}$成立，则实数a值是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 把函数看作是动点M（x，lnx²）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{4}{5}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．

解答 解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx²）与动点N（a，2a）之间距离的平方，
动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=2lnx得，y'=$\frac{2}{x}$=2，解得x=1，
∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则f（x）≥$\frac{4}{5}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，则f（x₀）=$\frac{4}{5}$，此时N恰好为垂足，
由k_MN=$\frac{2a-0}{a-1}=\frac{2a}{a-1}=-\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．