Question

8．已知集合A={x|$\frac{2x+1}{x+2}$＜1，x∈R}，函数f（x）=|mx+1|（m∈R），函数g（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞）．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，若|f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）|≤k恒成立，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式g（x）＜c的解集为（m，m+6），求实数c的值．

Answer 1

分析 （1）先解出集合A=（-2，1），讨论m的取值来解绝对值不等式|mx+1|≤3，根据该不等式解集为A即可求得m=2；
（2）根据绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|即可求出|f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）|的最大值，而要使|f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）|≤k恒成立，只要该函数最大值小于等于k，从而求出k的范围；
（3）首先根据二次函数g（x）的值域为[0，+∞）即可得到$b=\frac{{a}^{2}}{4}$，这样得到g（x）=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}}{4}$，这样根据g（x）＜c的解集为（2，8），说明2，8是方程g（x）-c=0的实数根，从而由韦达定理即可求出c．

解答 解：（1）A=（-2，1）；
由f（x）≤3得；
|mx+1|≤3；
∴-4≤mx≤2；
①若m=0，f（x）≤3的解集为R，不为集合A，即这种情况不存在；
②若m＞0，由-4≤mx≤2得，$-\frac{4}{m}≤x≤\frac{2}{m}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{m}=-2}\\{\frac{2}{m}=1}\end{array}\right.$；
∴解得m=2；
③若m＜0，由-4≤mx≤2得，$\frac{2}{m}≤x≤-\frac{4}{m}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{m}=-2}\\{-\frac{4}{m}=1}\end{array}\right.$；
解得m∈∅，即这种情况不存在；
∴m=2；
（2）|f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）|=||2x+1|-2|x+1||≤|2x+1-2x-2|=1；
即|f（x）-2$f（\frac{x}{2}）$|的最大值为1；
∴若$|f（x）-2f（\frac{x}{2}）|≤k$恒成立，则：1≤k，即k≥1；
∴k的取值范围为[1，+∞）；
（3）由g（x）的值域为[0，+∞）得：
△=a²-4b=0；
∴$b=\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴由g（x）＜c得：
${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}}{4}-c＜0$，该不等式解集为（2，8）；
∴根据韦达定理$\left\{\begin{array}{l}{2+8=-a}\\{2×8=\frac{{a}^{2}}{4}-c}\end{array}\right.$；
∴c=9．

点评 考查解分式不等式，解绝对值不等式，绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|的运用，二次函数值域为[0，+∞）时△的取值情况，清楚一元二次不等式的解和对应一元二次方程解的关系，以及韦达定理的运用．