Question

13．已知关于x的不等式|xlnx|≤-2x²+cx-$\frac{1}{2}$有解，则正整数c的最小值为3．

Answer 1

分析 由于x＞0，则原不等式即为|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$≤c，令f（x）=|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$，讨论x≥1，x＜1去绝对值，运用导数判断单调性，即可求得最小值，再由c为正整数，即可得到最小值c=3．

解答 解：由于x＞0，则不等式|xlnx|≤-2x²+cx-$\frac{1}{2}$即为
|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$≤c，
令f（x）=|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$，
当x≥1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$+2x，
由于f′（x）=$\frac{1}{x}$+2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0，
则f（x）在[1，+∞）递增，
则有f（1）为最小值$\frac{5}{2}$；
当0＜x＜1时，f（x）=-lnx+2x+$\frac{1}{2x}$，
由于f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-2x-1}{2{x}^{2}}$，
令f（x）=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$（$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$舍去），
当0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则有x=$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$处f（x）取得极小值，也为最小值，
由于2＜-ln$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$+$\sqrt{5}$＜3，且c为正整数，即有c≥3，
则正整数c的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查不等式有解的条件，主要考查参数分离和函数的最值的求法，属于中档题和易错题．