Question

3．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱DD₁、C₁D₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）证明：B₁F∥平面A₁BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A₁-B₁BE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正方体可得：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，B₁C₁⊥A₁B．又A₁B⊥AB₁，可得A₁B⊥平面ADC₁B₁，即可证明．
（Ⅱ）证明：连接EF，利用三角形中位线定理可得四边形B₁OEF为平行四边形．可得B₁F∥OE．即可证明B₁F∥平面A₁BE，
（Ⅲ）利用${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BE}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}•{B}_{1}{C}_{1}•{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥A₁B．
又∵A₁B⊥AB₁，B₁C₁∩AB₁=B₁，
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁，
∵A₁B?平面A₁BE，
∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）证明：连接EF，EF∥$\frac{1}{2}{C}_{1}D$，且EF=$\frac{1}{2}{C}_{1}D$，
设AB₁∩A₁B=O，
则B₁O∥C₁D，且${B}_{1}O=\frac{1}{2}{C}_{1}D$，
∴EF∥B₁O，且EF=B₁O，
∴四边形B₁OEF为平行四边形．
∴B₁F∥OE．
又∵B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE，
（Ⅲ）解：${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BE}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}•{B}_{1}{C}_{1}•{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方体与正方形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面面面垂直与平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．