Question

8．如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，将△AED和△DCF折起，使A，C两点重合于P．

（1）求证：PD⊥EF；
（2）当BE=BF=$\frac{1}{4}$BC时，求四棱锥P-BEDF的体积．

Answer 1

分析 （1）由折叠前四边形ABCD为正方形，可得折叠后PD⊥PE，PD⊥PF，结合线面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，进而由线面垂直的性质定理，得到答案．
（2）当BE=BF=$\frac{1}{4}$BC时，计算出△EFD，△EFB的面积，点P到平面BEDF的距离，进而求四棱锥P-BEDF的体积．

解答 （1）证明：折起前AD⊥AE，CD⊥CF，

折起后，PD⊥PE，PD⊥PF．（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，（4分）
∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF．（6分）
（2）解：当时，由（1）可得PD⊥平面PEF．（7分）
此时，$EF=\sqrt{2}$，${S_{△BEF}}=\frac{1}{2}，{S_{△ADE}}={S_{△CDF}}=\frac{1}{2}×3×4=6$．（8分）
△PEF的高为${h_1}=\sqrt{P{F^2}-{{（{\frac{EF}{2}}）}^2}}=\sqrt{C{F^2}-{{（{\frac{EF}{2}}）}^2}}=\sqrt{{3^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{34}}}{2}$（9分）
∴${S_{△PEF}}=\frac{1}{2}EF•{h_1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{34}}}{2}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$（10分）
∴${V_{D-PEF}}=\frac{1}{3}{S_{△PEF}}•DP=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{17}}}{2}×4=\frac{{2\sqrt{17}}}{3}$（11分）
∵${S_{△DEF}}={S_{ABCD}}-{S_{△BEF}}-{S_{△ADE}}-{S_{△CDF}}=16-\frac{1}{2}-6-6=\frac{7}{2}$（12分）
设点P到平面BEDF的距离为h，则${V_{P-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•h=\frac{7}{6}h$
∵V_D-PEF=V_P-DEF，∴$\frac{{2\sqrt{17}}}{3}=\frac{7}{6}h$，
解得$h=\frac{{4\sqrt{17}}}{7}$（13分）
∴四棱锥P-BEDF的体积${V_{P-BEDF}}=\frac{1}{3}（{S_{△DEF}}+{S_{△BEF}}）•h=\frac{1}{3}（{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}}）•\frac{{4\sqrt{17}}}{7}=\frac{{16\sqrt{17}}}{21}$（14分）

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，点，线，面的距离计算，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的熟练应用．