Question

20．已知函数f（x）=x³-2x-4，g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R）．
（1）当x＞2时，求证：f（x）＞0；
（2）求证：对任意a∈R，函数g（x）必存在两个零点；
（3）若函数g（x）两个零点均比1小或另一零点比1小，另一个零点比1大，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的符号可得函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，结合f（2）=0，可得当x＞2时，f（x）＞0．
（2）分类讨论可得二次函数g（x）的判别式大于零恒成立，从而得到对任意a∈R，函数g（x）必存在两个零点．
（3）由条件利用二次函数的性质，分类讨论，分别求得a的范围，再取并集，即得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-2x-4，∴f′（x）=3x²-2，故当x＞2时，f′（x）=3x²-2＞0，
故函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
求得f（2）=8-4-4=0，可得当x＞2时，f（x）＞0．
（2）对于二次函数g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R），它的判别式△=（a²-1）²-4（a-2）=a（a³-2a-4）+9，
当a＞2时，由（1）可得 a³-2a-4＞0，∴△＞0；
当a=2时，△=9＞0；
当a＜2时，a-2＜0，△=（a²-1）²-4（a-2）＞0．
综上可得，△＞0恒成立，故函数g（x）必存在两个零点．
（3）若函数g（x）两个零点均比1小，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）{=a}^{2}+a-2＞0}\\{-\frac{{a}^{2}-1}{2}＜1}\end{array}\right.$，求得a＜-2 或a＞1．
若一零点比1小，另一个零点比1大，则f（1）=a²+a-2＜0，求得-＜a＜1．
综上可得要求的a的范围是{a|a≠-2，且a≠1}．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点的定义，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．